Matematika Kelas X, dijelaskan seperti kamu belum pernah belajar matematika.

Eksponen (Bilangan Berpangkat)

Eksponen itu cara singkat menulis perkalian yang berulang-ulang dengan angka yang sama.

Apa ini, sebenarnya?

Bayangkan kamu menulis 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. Panjang, kan? Matematikawan malas menulis panjang, jadi mereka membuat singkatan: hitung ada berapa angka 2, lalu tulis kecil di kanan atas.

Jadi 2⁶ artinya "kalikan 2 sebanyak 6 kali". Hasilnya 64.

Contoh yang sering muncul

Tiga kasus aneh yang harus kamu hafal

Ini pertanyaan pertama semua orang: “kenapa angka pangkat nol hasilnya 1?”

Tujuh sifat eksponen (ini inti bab)

Semua sifat ini sebenarnya cuma "menghitung jumlah angka yang dikalikan". Tidak perlu hafal buta — pahami asalnya:

Contoh bertahap (ikuti pelan-pelan)

Coba sendiri: tabel 2ⁿ

Kalkulator sifat eksponen

Fungsi Eksponensial (Pertumbuhan & Peluruhan)

Kalau eksponen cuma soal angka, fungsi eksponensial adalah cerita tentang sesuatu yang berlipat ganda — atau menyusut — seiring waktu.

Apa ini, sebenarnya?

Buku kelas X membuka bab ini dengan penyebaran berita hoaks. Satu orang mengirim pesan ke 2 teman. Kedua teman itu masing-masing kirim ke 2 orang lagi. Berapa orang yang menerima di fase berikutnya?

Polanya bukan "tambah 2", tapi "kali 2". Ini yang membedakan eksponensial dari aritmetika biasa. Hasilnya meledak dengan cepat: fase ke-10 sudah 1.024 orang, fase ke-20 lebih dari sejuta.

Rumus umum

n = nilai awal (jumlah di awal), a = faktor pengali tiap langkah, x = berapa langkah sudah lewat.

Kenapa a ≠ 1? Kalau a = 1, hasilnya selalu n (tidak tumbuh, tidak menyusut) — bukan fungsi eksponensial lagi. Kenapa a ≠ 0? Karena 0^x juga tidak menarik: selalu 0.

Dua wajah fungsi eksponensial

Lihat grafiknya

Perhatikan: kedua kurva selalu melewati titik (0, 1). Karena a⁰ = 1. Dan keduanya tidak pernah menyentuh sumbu x — hanya mendekat.

Contoh bertahap: bakteri

Coba sendiri: simulasi pembelahan

Contoh peluruhan: obat

Bentuk Akar

Akar itu pertanyaan kebalikan: “angka apa, kalau dikalikan dirinya sendiri, hasilnya ini?”

Apa ini, sebenarnya?

Kamu tahu 3² = 9. Nah, akar bekerja mundur: kalau diberi 9, angka apa yang dikuadratkan menghasilkan 9? Jawabnya 3. Ditulis √9 = 3.

Angka kecil di kiri atas akar itu namanya indeks. Kalau tidak ditulis, indeksnya 2 (akar kuadrat).

Hubungan akar dan pangkat pecahan

Ini kunci yang membuat semua perhitungan jadi mudah: akar bisa ditulis sebagai pangkat pecahan.

Contoh: √x = x^1/2, ³√x = x^1/3, ³√(x²) = x^2/3.

Karena bentuknya pangkat, semua sifat eksponen di topik 1 berlaku juga untuk akar. Ini yang membuat soal seperti (2√x)(3³√x) bisa diselesaikan dalam dua baris:

1. Ubah ke pangkat: 2x^1/2 × 3x^1/3.
2. Kalikan koefisien: 2 × 3 = 6.
3. Jumlahkan pangkat: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
4. Hasil: 6x^5/6.

Sifat bentuk akar

Merasionalkan penyebut

Aturan tidak tertulis dalam matematika: jangan biarkan akar duduk di penyebut. Jadi kalau ada 6/√3, kita kalikan atas-bawah dengan √3:

Kalau penyebutnya √a + √b, kalikan dengan sekawannya √a − √b. Hasilnya penyebut berubah jadi a − b (akar hilang, karena (√a+√b)(√a−√b) = a − b).

Kalkulator akar

Logaritma

Logaritma adalah pertanyaan: “pangkatnya berapa?” Ia kebalikan persis dari eksponen.

Apa ini, sebenarnya?

Buku membahasnya lewat soal: bakteri 2.000, membelah dua tiap jam. Kapan jumlahnya mencapai 100.000?

Pertanyaan “pangkat berapa?” itulah logaritma. Jawabannya ditulis ²log 50.

Dibaca: “logaritma b dengan basis a sama dengan c, artinya a dipangkatkan c menghasilkan b”.

Nama-nama bagiannya: a = basis (atau bilangan pokok), b = numerus (angka yang dicari pangkatnya), c = hasil logaritma.

Tabel bolak-balik: ini cara tercepat memahaminya

Logaritma umum adalah logaritma basis 10, biasanya ditulis tanpa angka: log a artinya ¹⁰log a.

Delapan sifat logaritma

Jangan hafal terpisah dari eksponen — ingat bahwa logaritma mengubah perkalian jadi penjumlahan. Itu idenya.

Apa gunanya?

Logaritma adalah cara memecahkan “x-nya ada di pangkat”. Setiap kali soal bertanya “berapa lama” atau “berapa kali” pada proses pertumbuhan/peluruhan, logaritma yang dipakai.

Kalkulator logaritma

Barisan

Barisan itu daftar bilangan yang disusun dengan aturan tertentu. Tugasnya: menemukan aturannya.

Apa ini, sebenarnya?

Perhatikan: 4, 6, 8, 10, … Berapa berikutnya? 12. Kenapa? Karena bedanya selalu 2. Daftar seperti ini sudah punya aturan, jadi disebut barisan.

Ada dua jenis yang dipelajari di kelas X:

Barisan aritmetika

Notasinya: U₁ suku pertama (sering ditulis a), b beda, Uₙ suku ke-n.

Kenapa (n − 1), bukan n? Karena suku pertama sudah bernilai a tanpa tambahan apa pun. Jadi tambahan b terjadi sebanyak (n−1) kali.

Barisan geometri

Trik soal geometri

Kalau di soal tertulis “setiap 2 jam membelah menjadi 3”, maka r = 3, bukan 2. Dan kalau total waktunya 20 jam, maka n = 20/2 + 1 = 11 (kalau menghitung dari kondisi awal). Selalu tulis dulu: apa sukunya, apa rasionya, ada berapa suku.

Deret

Barisan = daftar. Deret = jumlah dari daftar itu. Bedanya cuma di situ.

Apa ini, sebenarnya?

Barisan: 1, 2, 3, 4, …, 100. Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100 = ?

Kisah terkenal: Carl Friedrich Gauss kecil (kelas 4 SD) menjawab 5.050 dalam beberapa detik. Caranya bukan menjumlah satu-satu, tapi memasangkan angka dari ujung:

Dari trik ini lahir rumus jumlah deret.

Deret aritmetika

Dua rumus itu sama saja. Yang pertama dipakai kalau Uₙ sudah diketahui; yang kedua kalau hanya diketahui a dan b.

Deret geometri

Kalau r = 1, semua sukunya sama, jadi Sₙ = n × a.

Deret geometri tak hingga

Kalau rasionya kecil (antara −1 dan 1), suku-sukunya makin kecil dan jumlahnya berhenti di satu nilai. Ini disebut konvergen.

Contoh klasik: 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Bisa dibayangkan dengan memotong kertas origami terus-menerus — total potongannya tepat satu kertas penuh, tidak lebih.

Kalkulator deret

Bunga (Tunggal & Majemuk)

Ini bagian matematika yang langsung terasa di dompet: uang di bank, cicilan, deposito.

Apa itu bunga?

Menurut OJK: bunga simpanan adalah balas jasa bank kepada nasabah yang menabung. Bunga pinjaman adalah balas jasa yang dibayar peminjam ke bank. Ada dua cara menghitungnya.

Bunga tunggal

Bunga hanya dihitung dari pokok awal, tidak pernah dari bunga sebelumnya. Jadi bunganya selalu sama setiap tahun.

Bunga majemuk

Bunga tahun ini ikut jadi pokok tahun depan, sehingga tahun berikutnya bunganya lebih besar. Ini yang dipakai deposito dengan perpanjangan otomatis.

Bandingkan langsung

Coba angka dari buku: Rp10.000.000 dengan bunga 3% selama 5 tahun. Selisihnya kecil di awal, tapi coba ganti lama jadi 30 tahun dan lihat jaraknya melebar.

Perbandingan Trigonometri

Trigonometri adalah cara mengukur benda yang tidak bisa kamu sentuh — tinggi gunung, lebar sungai — hanya dengan sudut dan satu panjang.

Apa ini, sebenarnya?

Kata trigonometri berasal dari bahasa Yunani: trigono = segitiga, metri = pengukuran. Jadi harfiahnya “mengukur segitiga”.

Ide dasarnya sederhana: dalam segitiga siku-siku, kalau sudutnya sama, perbandingan sisi-sisinya selalu sama — walaupun ukuran segitiganya berbeda. Segitiga kecil dan segitiga raksasa dengan sudut 30° punya bentuk yang sama (sebangun).

Nama tiga sisi

Sebelum menghitung, kamu harus bisa menamai sisi. Sudut acuannya menentukan namanya — kalau sudutnya pindah, namanya bisa tertukar.

Tiga perbandingan utama

Hafalkan dengan jembatan keledai “Demi – Sami – Desam”:

Catatan penting: sin, cos, dan tan itu angka murni (tanpa satuan), karena hasil pembagian dua panjang. Nilainya hanya bergantung pada besar sudut, bukan ukuran segitiganya.

Hubungan ketiganya

Buktinya cuma pembagian pecahan biasa: (de/mi) ÷ (sa/mi) = de/sa = tan θ.

Ada juga tiga perbandingan tambahan yang jarang dipakai (tapi muncul di soal):

Identitas dari Pythagoras

Teorema Pythagoras: a² + b² = c². Kalau kedua ruas dibagi c², hasilnya berubah jadi identitas trigonometri paling terkenal:

Ini bukan hafalan baru — ini Pythagoras yang ditulis ulang. Gunanya: kalau tahu sin θ, kamu bisa cari cos θ tanpa gambar segitiga.

Sudut istimewa

Beberapa sudut nilainya “cantik” dan bisa dihitung eksak tanpa kalkulator: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Perhatikan polanya: baris sin naik dari 0 ke 1, baris cos turun dari 1 ke 0. Itu bukan kebetulan — karena cos θ = sin(90° − θ). Inilah asal awalan “co-” (komplemen).

Dari mana angka ½√3? Dari segitiga sama sisi bersisi 2 yang dibelah dua. Tingginya √3 (Pythagoras), sehingga sin 60° = √3/2. Untuk 45°, dari segitiga siku-siku sama kaki 1-1-√2.

Cara membaca soal (ini yang paling berguna)

1. Gambar segitiga siku-sikunya. Hampir semua soal cerita trigonometri selesai dengan langkah ini. Tanpa gambar, kamu akan salah menebak sisi.
2. Tandai sudut yang diketahui dan sisi yang ditanya.
3. Pilih perbandingan yang memuat keduanya: diketahui sisi depan, ditanya sisi miring → pakai sin. Diketahui sisi samping, ditanya sisi miring → cos. Diketahui depan dan samping → tan.
4. Susun persamaan dan selesaikan.

Kalkulator trigonometri

Grafik sin, cos, tan

Pemanfaatan Perbandingan Trigonometri

Sekarang bagian yang menyenangkan: memakai trigonometri untuk mengukur hal yang mustahil diukur langsung.

Inti masalahnya

Kamu tidak bisa naik ke puncak menara dengan meteran. Tapi kamu bisa berdiri di tanah, mengukur jarak ke dasar menara, dan mengukur sudut pandang ke puncaknya. Dengan tiga informasi itu, tinggi menara bisa dihitung.

Sudut elevasi dan depresi

Contoh 1: tinggi gedung

Contoh 2: replika piramida (dari buku)

Contoh 3: lebar sungai

Contoh 4: dua pengamat (jebakan favorit)

Dari mana datangnya?

Metode ini sudah dipakai 2.000 tahun lalu. Eratosthenes mengukur keliling bumi (≈40.030 km) hanya dengan membandingkan panjang bayangan di dua kota. Alat modernnya bernama teodolit, dan versi buatan sendiri disebut klinometer (busur + tali + pemberat) — proyek pengayaan di buku.

Sistem Persamaan Linear

Kalau kamu punya dua hal yang tidak diketahui dan dua petunjuk, petunjuk itu bisa saling melengkapi sampai jawabannya tunggal.

Apa ini, sebenarnya?

Persamaan linear adalah persamaan yang variabelnya berpangkat satu dan tidak saling dikali. Contoh: 2x + 3y = 12. Grafiknya garis lurus.

Sistem persamaan linear artinya beberapa persamaan sekaligus, dan solusinya harus memenuhi semuanya.

Mulai dari dua variabel (ingat SMP)

Paket A: 5 buku + 2 pensil = Rp18.000. Paket B: 1 buku + 2 pensil = Rp10.000.

Metode eliminasi: kurangi persamaan pertama dengan kedua — 2y sama-sama ada, jadi hilang:

Lalu substitusi x ke persamaan kedua: 2.000 + 2y = 10.000 → y = 4.000. Jadi buku Rp2.000, pensil Rp4.000.

Kenapa eliminasi bisa? Karena kalau dua persamaan sama-sama benar, mengurangkan keduanya juga menghasilkan pernyataan yang benar. Ini bukan trik ajaib — ini sifat kesetaraan.

Naik ke tiga variabel

Contoh dari buku (Kinan menimbang bola):

1. Buang satu variabel. Ambil y, karena persamaan (3) sudah tidak punya y. Eliminasi y dari (1) dan (2).
2. Persamaan (2) berisi 2y, persamaan (1) berisi 1y. Kalikan (1) dengan 2: 4x + 2y + 6z = 5.000.
3. Kurangkan dengan (2): (4x+2y+6z) − (x+2y+2z) = 5.000 − 2.050 → 3x + 4z = 2.950 … (4)
4. Sekarang (3) dan (4) adalah sistem dua variabel: 2x + z = 1.550 dan 3x + 4z = 2.950.
5. Kalikan (3) dengan 4: 8x + 4z = 6.200, kurangi (4): 5x = 3.250 → x = 650.
6. Substitusi ke (3): 2(650) + z = 1.550 → z = 250.
7. Substitusi ke (2): 650 + 2y + 500 = 2.050 → 2y = 900 → y = 450.

Solusinya: bola basket 650 g, bola kaki 450 g, bola voli 250 g. Cek ke semua persamaan asli: (1) 1.300+450+750 = 2.500 ✓, (2) 650+900+500 = 2.050 ✓, (3) 1.300+250 = 1.550 ✓.

Tiga kemungkinan jumlah solusi

Inilah bagian yang paling sering keluar di ujian, dan paling mudah dipahami lewat garis.

Jadi kamu tidak perlu menggambar untuk tahu jumlah solusi. Cukup lakukan eliminasi dan lihat hasil akhirnya.

Uji titik: apakah ini solusi?

Metode yang perlu kamu kuasai

Sistem Pertidaksamaan Linear

Beda tipis dengan yang tadi: bukan “sama dengan”, tapi “kurang dari”, “lebih dari”. Hasilnya bukan satu titik, tapi sebuah daerah.

Apa ini, sebenarnya?

Persamaan → jawabannya titik. Pertidaksamaan → jawabannya area di bidang koordinat. Mirip perbedaan “suhu tepat 30°” dengan “suhu di atas 30°”.

Contoh dari buku: lomba 17-an

Kas Rp500.000. Biaya penyelenggaraan Rp20.000 per anak, hadiah Rp40.000 per jenis lomba, dan diharapkan lebih dari 13 anak ikut.

Disederhanakan persamaan biayanya: 2x + 4y ≤ 50, atau x + 2y ≤ 25.

Langkah menggambar daerah hasil

1. Gambar garis batasnya dengan mengubah tanda pertidaksamaan menjadi “=”. Ini garis pembatas, bukan jawaban.
2. Tentukan jenis garis. Jika tandanya ≤ atau ≥, garis utuh (garisnya termasuk). Jika < atau >, garis putus-putus (garisnya tidak termasuk).
3. Uji titik (0,0). Substitusikan ke pertidaksamaan. Kalau hasilnya benar, arsir sisi yang memuat (0,0). Kalau salah, arsir sisi seberangnya.
4. Ulangi untuk semua pertidaksamaan.
5. Daerah hasil = irisan semua daerah yang diarsir. Itu jawabannya.

Soal “apakah mungkin?”

Banyak soal tipe ini: “Apakah Bu Dini bisa membeli 6 kg telur dengan uang Rp150.000?”

Cara menjawab: substitusikan angkanya, lalu cek apakah semua pertidaksamaan benar. Kalau satu saja dilanggar, berarti tidak mungkin.

Contoh: semua telur puyuh (y = 6, x = 0). Biaya 30.000 × 6 = 180.000 > 150.000 → tidak memenuhi. Jadi tidak mungkin membeli 6 kg semuanya puyuh. Kalau campuran, mungkin — itulah gunanya daerah hasil.

Persamaan atau pertidaksamaan?